ANALISIS COMBINATORIO
ANALISIS COMBINATORIO
FACTORIAL DE UN NÚMERO
El factorial de un número entero y positivo se define como el producto de todos los enteros consecutivos que empiezan con la unidad y termina con el número dado.
Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n" se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive.
Ejemplo 1:
Si observamos:
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Pero → 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Entonces 10! Se puede escribir:
10! = 10 x 9!
10! = 10 x 9 x 8!
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6!
n! = (n – 1)! x n
n! = (n – 2)! x (n – 1) x n
- Para n = 1
n! = (n – 1)! x n
1! = (1 – 1)! x 1
1! = 0! X 1
1! = 0! = 1
Casos especiales:
a) = → existe
! Solo afecta al numerador
b) ( )! → no existe
! Afecta a toda la expresión
c) √ = √ → si existe
d) √ ! → no existe
e) -7! → si existe
d) (-7)! → no existe
Ejemplo 2: Hallar el valor de “x”
(x + 1)! = 1! x 2! x 3! x 2
Sol.
(x + 1)! = 1! x 2! x 3! x 2
(x + 1)! = (1) x (1x2) x (1x2x3) x 2
(x + 1)! = 24
(x + 1)! = 4! → x + 1 = 4
X = 3
Ejemplo 3: Hallar “x”
x! = 72(x – 2)!
Sol.
x! = 72(x – 2)!
(x – 2)!(x – 1)(x) = 72(x – 2)!
(x – 1)(x) = 72
(9 - 1)(9) = 72 → x = 9
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO
Son las herramientas básicas que nos permiten calcular el número de elementos de conjuntos formados de acuerdo a ciertas reglas, sin necesidad de enumerar sus elementos.
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Ejemplo 4: ¿De cuantas formas Ángel, Bertha y Carlos pueden sentarse en una banca para 3 durante una sesión de fotos?
Sol.
Ángel = A; Bertha = B y Carlos = C
Evento = sesión de fotos
Debemos llevar el evento a todas las formas posibles y después contar la cantidad total de maneras en que pueda ocurrir.
Numero de maneras → ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA = 6 maneras
R. 6
Los principios fundamentales del conteo son:
Principio de Adición:
Si un evento “A” ocurre o se puede efectuar de “m” maneras y otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces “A” ó “B”, se podrán efectuar:
# maneras = m + n
Ejemplo 5: Se tiene un dado y una moneda. ¿Cuantas resultados diferentes se obtendrán cuando lanzamos el dado o la moneda?
Sol.
1er evento: lanzamiento del dado
Números del dado en cada cara son del 1 al 6 → 6 resultados posibles
2do evento: lanzamiento de la moneda
La moneda tiene solo cara y sello → 2 resultados posibles
El número de resultados posibles al lanzar el dado o la moneda es: 6 + 2 = 8
R. 8
Ejemplo 6: Para ir de la ciudad A a la ciudad B se dispone de 3 rutas en tren y 4 en ómnibus. ¿De cuantas maneras se puede decidir el viaje?
Sol.
Tren:
De A hacia B hay tres rutas → 3 opciones
Ómnibus:
De A hacia B hay cuatro rutas → 4 opciones
# de opciones totales → 3 + 4 = 7 opciones
R. 7
Principio de Multiplicación:
Si un evento “A” se puede realizar de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces los eventos A y B se pueden efectuar simultáneamente o uno seguido del otro:
# maneras = m x n
Ejemplo 7: María debe ponerse una blusa y una falda. Si dispone de una blusa blanca y una blusa crema además una falda roja, una falda azul y una falda verde. ¿De cuantas maneras distintas puede vestirse?
Sol.
María debe elegir una blusa y una falda (no falda o blusa)
-Blusa tiene dos opciones = Blanca y Crema
-Falsa tiene tres opciones = Roja, Azul y Verde
# de maneras = BR, BA, BV, CR, CA, CV = 6
⁞ otra forma ⁞
Blusa → 2 maneras = 2
Falda → 3 maneras = 3
# maneras = 2 x 3 = 6
R. 6
Ejemplo 8: ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden escribir si las cifras pueden repetirse y las cifras de las decenas es impar?
Sol.
- Cifras que se pueden utilizar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Si el # es par → en la cifra de las unidades solo puede utilizar: 0, 2, 4, 6, 8
- en la cifra de las decenas solo puede utilizar: 1, 3, 5, 7, 9
- en la cifra de las centenas solo puede utilizar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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Evento A = 9
Evento B = 5
Evento C = 5
9 x 5 x 5 = 225
R. 225
Principio de Inclusión – Exclusión:
El principio de inclusión‐exclusión es un método de recuento para calcular el cardinal de una unión de varios conjuntos. Sabemos que en el caso de dos conjuntos disjuntos A y B el principio de adición nos dice que el cardinal de la unión de A y B es: | | | | | |
Pero en el caso de no ser A y B disjuntos la fórmula anterior contaría un elemento de la intersección dos veces, una vez en A y otra en B. Por tanto en la fórmula anterior tendremos que excluir una vez los elementos de la intersección AB, esto es:
| | | | | | - |A ∩ B|
Para contar elementos:
n(A U B) = n(a) + n(b) – n(a ∩ B)
Ejemplo 9: ¿Cuántos números enteros entre 1 y 100 son divisibles por 5 y 8?
Sol.
- A es el conjunto de # enteros divisibles por 5:
100 ÷ 5 = 20 #s enteros
- B es el conjunto de # enteros divisibles por 8:
100 ÷ 8 = 12,5 como nos piden #s enteros → 12 #s enteros
- (A ∩ B) es el conjunto de # enteros divisibles por 5 y 8:
100 ÷ 40 = 2,5 como nos piden #s enteros → 2 #s enteros
Reemplazamos:
n(A U B) = n(a) + n(b) – n(a ∩ B)
n(A U B) = 20 + 12 – 2 = 30
R. 30
VARIACIONES
Son cada una de las ordenaciones que se pueden formar con varios elementos. Estos pueden ser tomados de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres; de modo que modo que dos ordenaciones cualesquiera del mismo número de elementos estén diferenciados por lo menos en un elemento o por el orden en que están colocados.
VARIACION → SI IMPORTA EL ORDEN
Si al conjunto M = {a, b, c} tomamos sus elementos de dos en dos serán así:
ab, ac, ba, bc, ca, cb
- ab y cb se diferencian en los elementos.
- ac y ca tienen los mismos elementos pero distinto orden
Para calcular el número de variaciones:
= ( )
Dónde:
m → número total de elementos
n → número de elementos tomados o agrupados
Ejemplo 9: 3 alumnos llegan a una academia que solo dispone de 5 salones. ¿De cuantas maneras se pueden distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes?
Sol.
Análisis:
- El 1er alumno tiene 5 posibilidades es decir puede ocupar cualquiera de los 5 salones.
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