PROBABILIDADES
PROBABILIDADES
El
cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción
y análisis de fenómenos estadísticos.
Suponemos
que tenemos dos dados (uno normal y el otro tiene el 1 en cada cara)
-
Experimento Aleatorio: Al lanzar el dado se obtienen varios resultados posibles
del 1 al 6.
-
Experimento Determinístico: Al lanzar el dado se obtiene el 1 como único
resultado.
DEFINICIÓN
DE PROBABILIDAD
Si
A es un suceso de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia
de A se denota P(A) y está dado por la relación:
P(A) =
|
EXPERIMENTO
ALEATORIO (𝛆)
Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos
resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba.
-
Al lanzar al aire dos veces una moneda y se observa los posibles resultados.
ESPACIO
MUESTRAL (Ω)
Es el
conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.
-
Al lanzar al aire dos veces una moneda y se observa los posibles resultados.
Ω = {(c,c); (c,s); (s,c); (s,s)}
EVENTOS O
SUCESOS:
Un evento
o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por
letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ....).
-
Al lanzar al aire dos veces una moneda y se observa los posibles resultados.
Ω = {(c,c); (c,s); (s,c); (s,s)}
A = en
los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos
A = {(c,c); (c,s); (s,c)}
Ejemplo 1: Hallar la probabilidad al lanzar un dado este salga en 2
o en 3.
Ω
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} →
n(Ω) = 6
A
= {2, 3} →
n(A) = 2
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
Ejemplo 2: Hallar la probabilidad al lanzar un dado este salga en un
número primo.
Ω
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} →
n(Ω) = 6
A
= {2, 3, 5} →
n(A) = 3
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
OPERACIONES
ENTRE SUCESOS:
Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como
tales cumplen todas las operaciones de los mismos.
A U B
|
Ocurre A o B o
ambas
|
Ocurre al menos 1
de ellas
|
A
|
Ocurre A y B
|
Ocurre ambas a la
vez
|
A - B
|
Ocurre solamente A
|
Ocurre A pero no B
|
Ac
|
No ocurre el evento
A
|
CLASES DE SUCESOS
PROBABILISTICOS
SUCESOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
Los A y B
son mutuamente excluyentes si y sólo si:
A
B = Ф (no
ocurren juntos simultáneamente).
● En un colegio tiene los siguientes sucesos:
A
→ Alumnos del nivel inicial
B
→ Alumnos del nivel primario
C
→ Alumnos del nivel secundario
Si
elegimos un alumno al azar, este pertenecerá a uno de los 3 eventos.
SUCESOS
COMPATIBLES:
Son aquellos
sucesos que pueden presentarse simultáneamente.
●Lanzar dos
dados y que aparezcan un 3 o un 5
SUCESOS INDEPENDIENTES:
Dos
sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de A no depende de la
ocurrencia de B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la
ocurrencia del otro.
●Se lanza
un dado 2 veces
A: Sale 4
en el primer lanzamiento
B: Sale 4
en el segundo lanzamiento.
SUCESOS
DEPENDIENTES:
Cuando la
ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro.
●Se tiene
dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras, en tanto
que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la urna A una
bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B, el resultado
dependerá de la bola que se sacó de la urna A.
Ejemplo 3:
En una urna se tienen 20 fichas numeradas del y al 20 se extrae una ficha
sabiendo que es par y divisible por 3.
Hallar su
probabilidad.
P(A) =
=
-
Como la ficha es par → Ω
será 10 y no 20
-
Como la ficha es par y divisible por 3 → {6,
12, 18}
Ω
={2, 4, 6, 8, 10. 12, 14, 16, 18, 20}→
n(Ω) = 10
A
= {6, 12, 18} →
n(A) = 3
P(A) =
→
P(A) =
Casos
particulares:
a) NAIPES:
Debemos
saber que el mazo consta de 52 cartas:
- 13
cartas de corazones
- 13
cartas de diamantes
- 13
cartas de Tréboles
- 13
cartas de Espadas
Ejemplo 4:
Se extrae una carta de un mazo de cartas ¿Cuál es la probabilidad de que sea un
naipe de reina?
Solución:
Como en
un mazo de 52 cartas hay 4 reina, entonces la probabilidad será:
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
b)
MONEDAS:
Una
moneda tiene una CARA y un SELLO, es decir, cada moneda tiene dos casos
totales.
En
general, para “n” monedas, se cumple que:
# de
casos totales = 2n
Deducción
sencilla: en cada MONEDA, se cumple que:
Probabilidad
para obtener CARA = ½
Probabilidad para obtener SELLO = ½
TEOREMA DE LA ADICIÓN:
- Si A y B son sucesos no
excluyentes definidos en un espacio muestral, entonces:
P(A U
B) = P(A) + P(B) – P(A
|
- Si A y B son sucesos
mutuamente excluyentes A
B = Ф; P(A
B) = 0
P(A U
B) = P(A) + P (B)
|
TEOREMA
DE LA MULTIPLICACION
Sean A y B dos sucesos
incluidos en el espacio muestral Ω, entonces:
- Si A y B son sucesos no
independientes
P(A
|
- Si A y B son sucesos
independientes
P(A
|
Ejemplo 5: En una urna hay 2 bolas verdes, 3 bolas blancas y 4 bolas
negras. Si se extrae una de ellas al azar. Hallar la probabilidad de que la
bola extraída no sea blanca.
-
En la urna hay en total: 2 verdes + 3 blancas + 4 negras = 9 bolas en total.
-
Se extrae una bola que no sea blanca → La
bola extraída debe ser blanca o verde: 2 + 4 = 6
(Teorema
de suma mutuamente excluyentes)
n(Ω)
= 9
n(A)
= 6
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
Ejemplo 6: 100 personas fueron a la playa, al final del día 20
tenían insolación, 32 casi se ahogan y 8 sufrieron de ahogo e insolación. Hallar
la probabilidad al seleccionar una persona tenga insolación y halla sufrido de
ahogo a la vez.
-
100 personas en la playa
-
Seleccionar una persona que tenga insolación y ahogamiento a la vez: 20 + 32 –
8 = 44
(Teorema
de suma no excluyentes)
n(Ω)
= 100
n(A)
= 44
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
Ejemplo 6: En una urna hay 4 bolas blancas y 6 azules. Se extraen
dos bolas sucesivamente sin reposición. Hallar la probabilidad que la 1era bola
sea blanca y la segunda sea azul.
-
Existen dos sucesos donde el 2do depende del primero → son sucesos no
independientes
1er
Suceso: Probabilidad de blancas = P(B)
n(Ω)
= 10
n(B)
= 4
P(B) =
→
P(B) =
→
P(B) =
2do:
Probabilidad de azules = P(A)
No
hay reposición, para el 2do suceso habrá 9 bolas en la urna.
n(Ω)
= 9
n(A)
= 6
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
→
x
=
Ejemplo 7: En una urna hay 4 bolas blancas y 6 azules. Se extraen
dos bolas sucesivamente con reposición. Hallar la probabilidad que la 1era bola
sea blanca y la segunda sea azul.
-
Existen dos sucesos donde el 2do no depende del primero → son sucesos independientes
1er
Suceso: Probabilidad de blancas = P(B)
n(Ω)
= 10
n(B)
= 4
P(B) =
→
P(B) =
→
P(B) =
2do:
Probabilidad de azules = P(A)
Si
hay reposición, para el 2do suceso habrá 10 bolas en la urna.
n(Ω)
= 10
n(A)
= 6
P(A) =
→
P(A) =
→
P(A) =
→
x
=
EXTRACCIÓN
SIMPLE
Cuando se
quiere extraer de una en una, la probabilidad se determina por un simple
cociente de los casos favorables respecto a los casos totales.
Ejemplo 8:
De una caja que contiene 5 bolas rojas y 3 negras, se extrae uno de ellos al
azar. Determinar la probabilidad que sea roja.
Ω
={8 bolas}→
n(Ω) = 8
A
= {5 bolas rojas} →
n(A) = 5
P(A) =
→
P(A) =
Descargar Archivo
Descargar Solucionario
0 comentarios:
Publicar un comentario