RM 20 RAZONAMIENTO GEOMETRICO

RAZONAMIENTO GEOMETRICO

RAZONAMIENTO GEOMETRICO

Para resolver problemas de este tipo, hay que recordar algunas nociones básicas de geometría.

● Recta

● Angulo

● Triangulo

● Cuadriláteros

● Trapecios

● Circunferencias

Ejemplo 1: Sobre una línea recta se ubican en forma ordenada los puntos A, B, C, D y E.

 +  +  = 32m

 =  

Hallar

 

          A        B        C        D        E

 +  +  = 32 → (  + ) +  = 32

 +  = 32  (I)

°

 +   = 32 → 8( ) = 160

 = 20m

Ejemplo 2: En una recta se ubican los puntos consecutivos P, E, R, A, S. Si R es punto medio de . Hallar:

 +

 

          P   a   E   b   R   c   A    d  S

R =  =  → a + b = c + d

 =  -  = 2(a + b) - a

 = a

 = b

 =  -  = 2(c + d) - d

 = d

 = c

- reemplazamos

 +  →  +

 +  →  +

2 + 2 = 4

Ejemplo 3: La suma de dos ángulos es 100° y la diferencia de sus complementos es 20°. Calcular la razón de dichos ángulos.

x + y = 100° (I)

C_x – C_y = 20° → (90 - x) – (90 – y) = 20°

y – x = 20° (II)

(I) + (II)

y = 60° ; x = 40°

 

R.

Ejemplo 4: Hallar “x” si  //  

Colocamos los puntos A, B, C, O

Prolongamos   y  según el grafico

- Prop. de ángulos internos entre rectas paralelas.

β° = 20° + 40° = 60°

θ° + β° = 180° → θ° = 120°

x + θ° = 180°

x = 60°

Ejemplo 5: En un triángulo ABC (m ) B>90°), se sabe que: BC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valores enteros que puede adoptar AB.

C

B

A

 

 = 2

 = 5

 = x

Pero ∆ABC es rectángulo:

2 < x < 5

x → 3 y/o 4

Ejemplo 6: Se tiene un ∆ABC acutángulo, donde “I” es el Incentro y “O” el Ortocentro.

BIC = 124°. Hallar ∢OBA

- Propiedad:

124° = 90° +  → ∢A = 68°

- ∆ABH tenemos ∢ABH = ∢OBA

∢A + ∢OBA + 90° = 180

∢OBA = 22°

Ejemplo 7:  =  =  =  = x

 ﬩ ,  ﬩  

Hallar el perímetro del polígono mostrado

-  es hipotenusa de ∆rectángulo ABC

 → x

-  es hipotenusa de ∆rectángulo ACD

 → x

-  es hipotenusa de ∆rectángulo ADE

 → 2x

Perímetro = 6x

Ejemplo 8: ABCD es un trapecio isósceles.

     ;       = 10 ;  ∡BCD = 120°

Hallar:  

- Como es un trapecio isósceles →  = 10

- Se traza   y   ﬩  →  = 10

- En ∆CND; ∡NCD = 30° y ∡NDC = 60°

 =  = 5

R.    = 20

Ejemplo 9: En un rectángulo ABCD se traza  que es bisectriz de B e intersecta a . Hallar el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC. N es el punto de tangencia de  y la circunferencia.  -  = 16

 

r = radio

N, Q y P son puntos de tangencia.

∡ABE = ∡CBE = 45°

 -  = r →   -  =   = 2r

Propiedad:

 =  = X →  =  = Y

 -  = 16 → X – Y = 16

 =  → X + r = 3r + Y

X – Y = 2r → 16 = 2r → r = 8

Ejemplo 10: Los catetos de un ∆rectángulo ABC miden 15 y 20cm.Hallar la medida de su inradio.

 = 20cm = 4(5) y  = 15cm = 3(5)

→  = 5(5) = 25cm

r = inradio

Teorema de Poncelet:

 +  =  + 2r → 20 + 15 = 25 + 2r

2r = 10 → r = 5cm

Ejemplo 11: Dado una circunferencia de centro O, se traza desde un punto exterior A una recta tangente  = 12cm. Si m∡BAO = 37°. Hallar la medida del radio de la circunferencia.

 ﬩  →  = radio(r)

m∡BOA = 53°

∆rectángulo ABO notable de 37° y 53°

 = 12cm = 4(3) y  = 15cm = 5(3)

→  = 3(3) = 9cm = r

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Del gráfico:  es una semicircunferencia y ABCD es un rectángulo.

 = 3u;  = 27u;  = 17u. Hallar

a) 10u          b) 9u            c) 8u

d) 7u            e) 6u

2. De la figura, hallar “x”

 =   y  β - θ = 60°

a) 30°           b) 35°           c) 45°

d) 50°           e) 60°

3. Si la razón de superficies de dos cubos es ¼- Calcular la razón de volúmenes de dichos cubos.

a) 1/8           b) 1/4           c) 1/2

d) 3/4           e) 3/8

4. Se tiene un terreno de 30m de ancho y 60m de largo el cual se desea dividirlo en terrenos cuadrados todos de igual medida y de máxima área posible. ¿Cuál es el área de dichos terrenos?

a) 600m²      b) 600m²      c) 800m²

d) 900m²      e) 950m²

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